📐 لوحة المفاتيح والقوانين الرياضية الوزارية — رياضيات الفصل الأول

دليلك الاستراتيجي التفاعلي: متوسط التغير، قواعد وقوانين الاشتقاق، قاعدة السلسلة والضمني، التطبيقات الهندسية والفيزيائية، وسلوك الاقتران والقيم القصوى.

📊 1. متوسط التغير وتفسيراته الهندسية والفيزيائية
  • متوسط التغير: \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x₂) - f(x₁)}{x₂ - x₁}.
  • التفسير الهندسي: يساوي ميل القاطع المار بالنقطتين (س₁، ص₁) و (س₂، ص₂) = \tan \theta.
  • التفسير الفيزيائي: السرعة المتوسطة v_{avg} = \frac{\Delta s}{\Delta t}.
  • الاقتران الخطي (ق(س) = أس + ب): متوسط تغيره على أي فترة ثابت ويساوي معامل س (أ).
⚡ 2. قواعد الاشتقاق وقاعدة السلسلة والاشتقاق الضمني
  • مشتقة الضرب: (f\cdot g)' = f'g + fg' (الأول في مشتقة الثاني + الثاني في مشتقة الأول).
  • مشتقة القسمة: (\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g²} (المقام في مشتقة البسط - البسط في مشتقة المقام على مربع المقام).
  • قاعدة السلسلة: \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.
  • مشتقة الاقتران الدائري: مشتقة جيب الزاوية = جتا الزاوية × مشتقة الزاوية. كل اقتران يبدأ بحرف (تـ) مشتقته سالبة!
📐 3. التطبيقات الفيزيائية والهندسية للمشتقة
  • السرعة اللحظية: v(t) = s'(t)، و التسارع اللحظي: a(t) = v'(t) = s''(t).
  • أقصى ارتفاع يصله الجسم: يتحقق عندما تصبح السرعة v(t) = 0.
  • لحظة الارتطام بالأرض: تتحقق عندما تصبح المسافة s(t) = 0.
  • ميل المماس: m = f'(x_0)، ومعادلة المماس: y - y_0 = m(x - x_0).
🎯 4. نظرية رول، القيمة المتوسطة، والتقعر ونقطة الانعطاف
  • مبرهنة رول: متصل على [أ، ب]، قابل للاشتقاق على (أ، ب)، و f(a) = f(b) ⬅️ يوجد جـ \in (أ، ب) بحيث f'(c) = 0.
  • مبرهنة القيمة المتوسطة: f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (ميل المماس = ميل القاطع).
  • التقعر: f''(x) > 0 مقعر لأعلى ($\cup$)، و f''(x) < 0 مقعر لأسفل ($\cap$).
  • شرط نقطة الانعطاف: متصل عندها، وتتغير إشارة المشتقة الثانية حولها (من موجب لسالب أو العكس)، والمماس عندها ليس رأسياً.
آخر تعديل: الخميس، 15 أكتوبر 2026، 3:52 PM